يهتم بكل مايخص الرياضيات


    معنى اللوغارتمات ...

    شاطر

    Admin
    Admin

    المساهمات : 32
    تاريخ التسجيل : 14/11/2010

    معنى اللوغارتمات ...

    مُساهمة  Admin في الإثنين ديسمبر 13, 2010 9:31 am



    كي نفهم معنى اللوغارتمات يجب أن نعرف معنى الدوال المسماة بـ (inverse functions)

    ما هي الدوال العكسية؟؟؟؟؟

    الدالة العكسية لدالة من مجهولين هي نفس الدالة لكن بإبدال كل مجهول (X,Y مثلاً) مكان الآخر فتبدل الـ X مكان الـ Y و الـ Y مكان الـ X ، ثم توضع الـ Y لوحدها في طرف المعادلة و الباقي في الطرف الآخر، وتنتج لنا الدالة العكسية...

    مثال/
    الدالة العكسية للدالة Y=2X+3 هي X=2Y+3 ثم نضع الـ Y في طرف فتكون المعادلة في شكلها الأخير Y=X/2-3/2

    ومن صفاتها أن مجال الدالة من هذه الدوال العكسية هو نفس المجال المقابل للدالة الأصلية لها ومجالها المقابل هو نفس مجال الدالة الأصلية (لماذا ؟؟)

    من صفاتها أيضاً أنه لو عوضنا بالدالة العكسية عن الـ X في الدالة الأصلي كان الناتج هو X .. يعني بشكل آخر... لو فرضنا أن الدالة الأصلية هي ع(س) والدالة العكسية لها هي د(س) فإن هذه علاقة صحيحة...

    ع(د(س)) = س ، والعكس صحيح أيضاً فـ د(ع(س)) = س .

    هناك صفة أخرى تهمنا في الدوال العكسية، وهي أنه لو نظرنا إلى شكل (رسم) الدالة العكسية لدالة ما لوجدنا أنه نفس الشكل ولكنه معكوس (reflected) كالمرآة بالنسبة للخط ( أو بتعبير آخر: حول الخط) Y=X


    نسيت أن أذكر أنه حتى يكون لدالة ما دالة عكسية inverse function يجب أن تكون هذه الدالة تطبيق متقابل أي ما يسمى بالإنكليزية (one-to-one function) يعني يكون لكل قيمة في الـ س ناتج واحد في الـ ص، وبشكل آخر لا يمكن أن تكون هناك نقطتان (2,4) و (2,3)، وأن لا تكون 2 مثلاً في مجال س ولا يوجد لها حل أو ناتج في الـ ص .

    والآن بعد أن تطرقنا إلى الدوال العكسية ننتقل إلى ما يسمى بالدوال الأسية:

    تعريف الدالة الأسية هو:

    الدالة الأسية (exponential functions): د(س) مع القاعدة (base) (ب) تُعَرّف بـ القاعدة: د(س)= ب^س
    (بشرط أن ب>0 , ب لا يساوي 1 و س ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) )

    لاحظتم من التعريف أن القاعدة يجب أن تكون عدداً موجباً وسبب هذا أنه لو كانت عدداً سالباً فستكون قيمة الدالة غير معرفة لبعض قيم الـ (س)، سأعطيكم مثالاً ليزداد الفهم:

    مثال/
    قيمة د(س)= (-5)^س, عندما س=2/1، هي:
    د(2/1) = (-4)^(2/1) = الجذر التربيعي لـ (-4) وهو غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.

    كما لاحظتم من التعريف أيضاً أن القاعدة لا يمكن أن تساوي 1 لأن 1^س=1 لكل قيم (س)، فتكون هنا دالة خطية وليست أسية، ولا تنطبق عليها بعض خواص الدوال الأسية.

    كما لاحظتم أيضاً أن القاعدة (ب) لا يمكن أن تساوي صفراً لأن 0^س=0 عندما تكون س>0 , ولأن 0^س غير معرفة عندما تكون قيم (س) أصغر من أو يساوي الصفر.

    خصائص الدوال الأسية:
    (لاحظوا أنه يجب أن تكون الدالة بالشروط التي ذكرناها بمعنى أن تكون القاعدة (ب) موجبة ولا تساوي صفراً)

    لدالة أسية د(س) لها قاعدة (ب) فإن:

    1- مجال د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
    2-المجال المقابل لـ د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط (لماذا؟؟).
    3-د(س) تقطع خط الصادات في (0,1) أي عندما س=0 فإن ص أو د(س) =1 دائماً
    4-الدالة د(س) عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي (لا أذكر الاسم العربي بالضبط ) one-to-one function .
    5-عندما (ب)>1 فإن: د(س)------>0 عندما س------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: د(س) ------->0 عندما س------> ما لا نهاية.
    7- د(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1.

    سأحاول أن أشرح الخاصيتين 5 و 6 باختصار:

    أ-عندما تكون القاعدة أكبر من الواحد فإن قيمة الدالة تزداد كلما ازدادت قيمة السين وتنقص كلما نقصت، حتى تصل إلى الصفر عندما تكون س = سالب ما لا نهاية، كما في المثال التالي:

    مثال/
    عندما د(س)= 2^س، فإن:
    2^3=8 ، 2^2=4 ، 2^1=2 ، 2^0=1 ، 2^-1=2/1 ، 2^-2=4/1 ، وهكذا تصغر القيمة حتى تصل إلى الصفر عند س= سالب ما لا نهاية .

    ب- عندما تكون القاعدة بين الصفر والواحد فإن قيمة الدالة تنقص كلما ازدادت قيمة السين وتزداد كلما نقصت، حتى تصل إلى الصفر عندما تكون س = ما لا نهاية، كما في المثال التالي:

    مثال/
    عندما د(س)= (2/1)^س، فإن:
    (2/1)^-3=8 ، (2/1)^-2=4 ، (2/1)^-1=2 ، (2/1)^0=1 ، (2/1)^1=(2/1) ، (2/1)^2=(4/1) ، (2/1)^3=(8/1) ، (2/1)^4=(16/1) ، وهكذا تصغر القيمة حتى تصل إلى الصفر عند س= ما لا نهاية

    قلنا سابقاً في خصائص الدوال الأسية أن:

    4-الدالة د(س) عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي (لا أذكر الاسم العربي بالضبط ) one-to-one function .


    وبما أن الدوال الأسية هي تطبيق متقابل ( one-to-one function ) فإن لها بالتأكيد دوالاً عكسية لأننا قلنا أنه لكل one-to-one function فإن هناك دالة عكسية inverse functions لهذه الدالة...

    حسناً، لنحاول تطبيق ما تعلمناه سابقاً في إيجاد الدالة العكسية ع(س) لدالة أسية د(س) = (ب^س) مثلاً، ولنقل:

    1- د(س) = ب^س (نقلب د(س) إلى (ص) )

    2- ص = ب^س ( نبدل الـ س والـ ص ببعضهما البعض)

    3- س = ب^ص

    تنبيه: (لاحظ هنا أنه يشترط للقاعدة (ب) نفس الشروط السابقة (ولنفس الأسباب) التي اشترطناها في الدوال الأسية، بفرق أن الشرط أصبح للـ ص وليس للـ س، ( أي بشرط أن ب>0 , ب لا يساوي 1 و ((ص))=ع(س) ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) )
    سنحاول هنا أن نتعرف على خواص هذه الدالة العكسية التي استخرجناها ولنسمها ع(س) استناداً إلى خواص الدالة الأصلية لها والتي سنسميها د(س) وهي دالة أسية من خلال النقاط التالية، فنقول:

    بما أن:


    اقتباس:

    ومن صفاتها أن مجال الدالة من هذه الدوال العكسية هو نفس المجال المقابل للدالة الأصلية لها ومجالها المقابل هو نفس مجال الدالة الأصلية

    .

    إذا فإن:

    1- مجال ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
    2-المجال المقابل لـ ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

    .................................................. ......

    وبما أن الـ س في د(س) تصبح ص في ع(س) و الـ ص في د(س) تصبح س في ع(س)، والعكس...

    وبما أن:

    3-د(س) تقطع خط الصادات في (0,1) أي عندما س=0 فإن ص أو د(س) =1 دائماً

    فإننا نستنتج الخاصية التالية:

    3- ع(س) تقطع خط السينات في (1,0) أي عندما س=1 فإن ص أو ع(س) =0 دائماً

    ........................

    وبما أن الدالة الأصلية لدالة عكسية هي دالة ذات تطبيق متقابل (أي دالة لا يوجد لكل قيمة في الـ س فيها إلا ناتج واحد فقط في الـ ص)، وبما أننا قلبنا الـ س بالـ ص والـ ص بالـ س في الدالة العكسية فإنه يبقى أن (لكل قيمة في الـ س ناتج واحد فقط في الـ ص للدالة العكسية) أي أنها تطبيق متقابل....

    فإنه من هذا الكلام ينتج لنا الخاصية التالية:

    4-الدالة ع(س) هي عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي one-to-one function .

    ..................................

    وبما أنه تم إبدال المجال والمجال المقابل في الدوال العكسية فإننا نستطيع أن صيغ الخاصيتين (5) و (6) بالشكل التالي:

    5- عندما (ب)>1 فإن: س------>0 عندما ع(س)------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: س------->0 عندما ع(س)------> ما لا نهاية.

    .................................................. ...........................

    7- ع(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1 (لماذا ؟؟ )

    خلاصة ما سبق:

    الدوال العكسية للدوال الأسية لها الخصائص التالية:

    1- مجال ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
    2-المجال المقابل لـ ع(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
    3- ع(س) تقطع خط السينات في (1,0) أي عندما س=1 فإن ص أو ع(س) =0 دائماً
    4-الدالة ع(س) هي عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي one-to-one function .
    5- عندما (ب)>1 فإن: س------>0 عندما ع(س)------> سالب ما لا نهاية.
    6- عندما 0<(ب)<1 فإن: س------->0 عندما ع(س)------> ما لا نهاية.
    7- ع(س) هي دالة متزايدة عندما (ب)>1، ودالة متناقصة عندما 0<(ب)<1 (لماذا ؟؟)

    .................................................. ... .
    كان يجب أن أضع الـ ص في (س =ب^ص)، في طرف لوحدها.
    .
    ولكن
    .
    كيف نضع الـ ص في طرف لوحدها

    سأحاول هنا أن أشرح ما الذي عمله علماء الرياضيات لتفادي هذه المشكلة، فأقول:

    حاول العلماء تعريف الـ ص في (س=ب^ص) تعريفاً رياضياً ومساواتها بشيء ما، (أي جعلها في طرف لوحدها) فقالوا أن الـ ص هي عبارة عن: (القوة المرفوعة للأساس (ب) والتي تعطي (أو تُكَوّن) العدد (س)، ولكن تعريفهم هذا يحتاج أن يأخذ شكلاً رياضياً لكي يمكن التعامل معه، لذلك فقد اتفق العلماء على هذه الصيغة لتعريف الـ ص، مطلقين عليها اللوغاريتمات، وسنحاول هنا أن نبين هذا بصورة مبسطة...

    تعريف الدالة اللوغاريتمية (الدالة العكسية للدالة الأسية):

    (بشرط ب>0 , ب لا يساوي 1 و ((ص))=ع(س) ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية (ح) , س ينتمي إلى الأعداد الحقيقية الموجبة)

    فإن:

    ص = لوغ(ب) س إذا وفقط إذا كان س = ب^ص (أو بصيغة أخرى ص = لوغ(ب) س <=====> س = ب^ص)

    (حيث (ب) هو أساس اللوغاريتم , (ص = لوغ(ب) س) هي القوة التي ترفع للأساس (ب) لينتج لنا س , س هو ناتج ب^ص)

    وسأعطيكم هنا بعض الأمثلة للتوضيح:

    مثال 1/ حول المعادلات التالية إلى صيغها اللوغاريتمية:

    2^3=8 , 4^(2/1)=2

    الحل/

    2^3=8 ======> 3= لوغ(2) 8

    4^(2/1)=2 ======> 5.=لوغ(4) 2

    مثال 2/ حول الصيغ اللوغاريتمية الآتية إلى صيغ أسية:

    3= لوغ(10) 1000 , 2=لوغ(4) 16

    الحل/

    3= لوغ(10) 1000 =====> 10^3 =1000

    2= لوغ(4) 16 =====> 4^2=16

    بعض خصائص اللوغاريتمات:
    -----------------------------------------------------
    بما أن:


    اقتباس:

    ومن صفاتها (أي الدوال العكسية) أيضاً أنه لو عوضنا بالدالة العكسية عن الـ X في الدالة الأصلي كان الناتج هو X .. يعني بشكل آخر... لو فرضنا أن الدالة الأصلية هي ع(س) والدالة العكسية لها هي د(س) فإن هذه علاقة صحيحة...

    ع(د(س)) = س ، والعكس صحيح أيضاً فـ د(ع(س)) = س .


    فإنه لدالة (د(س)= ب^س)، لها دالة عكسية (ع(س)= لوغ(ب) س، فإن هاتين القاعدتين صحيحتين:

    أ- د(ع(س))= ب^لوغ(ب) س = س

    ب- ع(د(س))= لوغ(ب) (ب^س) = س

    مثال للقاعدة أ: ص= 2^لوغ(2) 8 ، أوجد ص.

    الحل/ ص= 2^لوغ(2) 8 = 8

    مثال للقاعدة ب: ص= لوغ(2) 8 ، أوجد (ص) :

    الحل/ ص= لوغ(2) 8 = لوغ(2) (2^3) =3

    ------------------------------------------------

    ج- لوغ(ب) (أ.ج.د) = لوغ(ب) أ + لوغ(ب) ج + لوغ(ب) د

    ------------------------------------------------

    د- لوغ(ب) (أ/ج) = لوغ(ب) أ - لوغ(ب) ج ...

    وكذلك: لوغ(ب) (أ.ج/د) = (لوغ(ب) (أ.ج) - لوغ(ب) د = لوغ(ب) أ + لوغ(ب) ج - لوغ(ب) د

    {سؤال للقراء: (أثبت الخاصيتين (ج) و (د) )}
    ------------------------------------------------

    هـ- لوغ(ب) 1 = 0 , لأن لوغ(ب) 1 = 0 <====> (ب^0 = 1)

    ------------------------------------------------

    و- لوغ(ب) ب = 1 لأن لوغ(ب) ب = 1 <====> (ب^1 = ب)

    تنبيه: (لوغ(1) 1 غير معرف ولا يساوي 1 لأن القاعدة (ب) لا يمكن أن تساوي 1 ...

    ز- إضافة إلى الخصائص السبع التي ذكرناها في الجزء الثالث (للدوال العكسية للدوال الأسية (الدوال اللوغاريتمية

      الوقت/التاريخ الآن هو الأربعاء مايو 24, 2017 9:45 am